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<!DOCTYPE html>

<title>Digitale Signalverarbeitung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Digitale Signalverarbeitung</span></h1>

</header>

</div>

<p>Die <b>digitale Signalverarbeitung</b> ist ein Teilgebiet der <a href="Nachrichtentechnik" title="Nachrichtentechnik">Nachrichtentechnik</a> und beschäftigt sich mit der Erzeugung und Verarbeitung <a href="Digitalsignal" title="Digitalsignal">digitaler Signale</a> mit Hilfe <a href="Digitaltechnik" title="Digitaltechnik">digitaler Systeme</a>. Im engeren Sinn liegt ihr Schwerpunkt in der Speicherung, Übermittlung und Transformation von <a href="Information" title="Information">Information</a> im Sinne der <a href="Informationstheorie" title="Informationstheorie">Informationstheorie</a> in Form von <a href="Digitalsignal" title="Digitalsignal">digitalen</a>, <a href="Zeitdiskretes_Signal" title="Zeitdiskretes Signal">zeitdiskreten Signalen</a>. Sie hat vielfältige und weitreichende Anwendungen in der heutigen Welt und einen starken Einfluss auf fast alle Lebensbereiche, da sie eine der technischen Grundlagen der <i><a href="Digitalisierung" title="Digitalisierung">Digitalisierung</a></i> der gesamten modernen <a href="Kommunikationstechnik" title="Kommunikationstechnik">Kommunikationstechnik</a> und <a href="Unterhaltungselektronik" title="Unterhaltungselektronik">Unterhaltungselektronik</a> ist. Dies wird auch als <i><a href="Digitale_Revolution" title="Digitale Revolution">Digitale Revolution</a></i> bezeichnet.

</p><p>In der praktischen Anwendung beruhen heutzutage fast sämtliche Übertragungs-, Aufzeichnungs- und Speicherungsverfahren für Bild und Film (<a href="Digitalfotografie" title="Digitalfotografie">Foto</a>, <a href="Fernsehen" title="Fernsehen">Fernsehen</a>, <a href="Videotechnik" title="Videotechnik">Video</a>) und Ton (Musik, <a href="Telefonie" title="Telefonie">Telefonie</a> etc.) auf digitaler Verarbeitung der entsprechenden Signale. Die digitale Signalverarbeitung ermöglicht eine Vielzahl von Umwandlungs- und Bearbeitungsarten für digitale Daten, z. B. die <a href="Datenkompression" title="Datenkompression">Kompression</a> von Audio- und Videodaten, nicht-linearen <a href="Videoschnitt" title="Videoschnitt">Videoschnitt</a> oder die <a href="Bildbearbeitung" title="Bildbearbeitung">Bildbearbeitung</a> bei Fotos. Darüber hinaus wird digitale Signalverarbeitung auch – neben vielen anderen industriellen Anwendungsgebieten – in der <a href="Mess-%2C_Steuerungs-_und_Regelungstechnik" title="Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik">Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik</a> und in der <a href="Medizintechnik" title="Medizintechnik">Medizintechnik</a> eingesetzt, etwa bei der <a href="Kernspintomographie" class="mw-redirect" title="Kernspintomographie">Kernspintomographie</a>. Diese Entwicklungen sind eine Folge des rasanten Fortschritts der Digital- und Computertechnologie (<i><a href="Informationstechnik" title="Informationstechnik">Informationstechnik</a></i>) in den letzten Jahrzehnten. Etwa mit Einführung der <a href="Compact_Disc_Digital_Audio" title="Compact Disc Digital Audio">Musik-CD</a> Anfang der 1980er Jahre begann damit die oben genannte „Digitalisierung“ den Alltag von Menschen zu beeinflussen, was sich heute am deutlichsten in der universellen Verbreitung der vielseitig einsetzbaren, <a href="Multimedia" title="Multimedia">multimedia</a>-fähigen <a href="Smartphone" title="Smartphone">Smartphones</a> zeigt.

</p><p>Die digitale Signalverarbeitung beruht auf <a href="Elektronisches_Bauteil" class="mw-redirect" title="Elektronisches Bauteil">elektronischen Bauelementen</a>, wie beispielsweise <a href="Digitaler_Signalprozessor" title="Digitaler Signalprozessor">digitalen Signalprozessoren</a> (<i>DSP</i>) oder leistungsfähigen <a href="Mikroprozessor" title="Mikroprozessor">Mikroprozessoren</a>, entsprechenden <a href="Halbleiterspeicher" title="Halbleiterspeicher">Speicherelementen</a> und Schnittstellen zur Signaleingabe und -ausgabe. Die <a href="Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmen</a> zur Signalverarbeitung können bei einer programmierbaren <a href="Hardware" title="Hardware">Hardware</a> durch zusätzliche <a href="Software" title="Software">Software</a> ergänzt werden, welche den Signalfluss steuert. Die digitale Signalverarbeitung bietet Möglichkeiten und Verarbeitungsmöglichkeiten, welche in der früher üblichen <a href="Analogtechnik" title="Analogtechnik">analogen Schaltungstechnik</a> gar nicht oder nur mit hohem Aufwand realisierbar sind.

</p><p>Die Methoden der digitalen Signalverarbeitung stehen der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a>, wie beispielsweise den Teilgebieten der <a href="Zahlentheorie" title="Zahlentheorie">Zahlentheorie</a> oder der <a href="Codierungstheorie" class="mw-redirect" title="Codierungstheorie">Codierungstheorie</a>, viel näher als der klassischen <a href="Elektrotechnik" title="Elektrotechnik">Elektrotechnik</a>. Ausgangspunkt war die allgemeine Bekanntheit der <a href="Schnelle_Fourier-Transformation" title="Schnelle Fourier-Transformation">schnellen Fourier-Transformation</a> (FFT) ab dem Jahr 1965 durch eine Veröffentlichung von <a href="James_Cooley" title="James Cooley">J. W. Cooley</a> und <a href="John_Tukey" class="mw-redirect" title="John Tukey">John Tukey</a>. Zusätzlich verbesserten sich in demselben Zeitraum die praktischen Möglichkeiten der <a href="Digitaltechnik" title="Digitaltechnik">digitalen Schaltungstechnik</a>, so dass die neuentwickelten Verfahren Anwendung finden konnten.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Technisches_Grundprinzip">Technisches Grundprinzip</h2></div>

<p>Die digitale Verarbeitung eines Signals folgt immer dem Schema Analog → Digital → Verarbeitung → Analog. Die Veränderungen am Signal werden ausschließlich im digitalen Bereich vorgenommen. Am Beispiel einer <a href="Compact_Disc_Digital_Audio" title="Compact Disc Digital Audio">Audio-CD</a> soll die Vorgehensweise erklärt werden:

</p>

<ol><li>Bei einer <a href="Tonaufnahme" title="Tonaufnahme">Tonaufnahme</a> wird über ein <a href="Mikrofon" title="Mikrofon">Mikrofon</a> der <a href="Schalldruck" title="Schalldruck">Schalldruck</a> in eine analoge <a href="Wechselspannung" title="Wechselspannung">Wechselspannung</a> umgewandelt. Diese Wechselspannung wird mithilfe eines <a href="Analog-Digital-Umsetzer" title="Analog-Digital-Umsetzer">Analog-Digital-Umsetzers</a> in eine Folge digitaler Werte umgesetzt.

<dl><dd>Bei Audio-CDs verwendet man dafür folgende Werte:

<ul><li>eine <a href="Abtastrate" title="Abtastrate">Abtastrate</a> von 44,1 kHz, d. h. das Signal wird 44.100-mal pro Sekunde abgetastet</li>

<li>eine <a href="Wortbreite" class="mw-redirect" title="Wortbreite">Wortbreite</a> von 16 Bit, d. h. der abgetastete, kontinuierliche Wert wird auf einen von 65.536 diskreten Werten abgebildet</li></ul></dd></dl></li>

<li>In einem Zwischenschritt kann das digitale Tonsignal nun verarbeitet, z. B. <a href="Digitales_Filter" class="mw-redirect" title="Digitales Filter">gefiltert</a> oder mit <a href="Effektger%C3%A4t_(Musik)" title="Effektgerät (Musik)">Effekten</a> versehen werden, bevor es gespeichert wird.</li>

<li>Zur Speicherung des Tonsignals werden die einzelnen Werte der Reihe nach auf die Audio-CD geschrieben.</li>

<li>Um die Tonaufnahme später wiederzugeben, werden die Daten von der CD gelesen und durch einen <a href="Digital-Analog-Umsetzer" title="Digital-Analog-Umsetzer">Digital-Analog-Umsetzer</a> wieder in eine kontinuierliche Wechselspannung umgewandelt. Diese wird dann anschließend an die Lautsprecher oder einen Verstärker übertragen.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aufbau_eines_digitalen_Signalverarbeitungs-Systems">Aufbau eines digitalen Signalverarbeitungs-Systems</h2></div>

<p>Das Schaubild zeigt den typischen Aufbau eines Signalverarbeitungs-Systems, das immer auch analoge Komponenten an der Schnittstelle zur „Außenwelt“ besitzt. Zum digitalen Signalverarbeitungs-System im engeren Sinne gehören nur die rot gefärbten <a href="Bauteil_(Technik)" title="Bauteil (Technik)">Komponenten</a> im unteren Bildteil.

</p><p>Verfolgen wir den Weg der Signale in der Grafik: Mittels eines <a href="Sensor" title="Sensor">Sensors</a> werden physikalische Größen in ein, häufig schwaches, elektrisches Signal konvertiert. Dieses Signal wird für die weitere Verarbeitung z. B. mit Hilfe eines <a href="Operationsverst%C3%A4rker" title="Operationsverstärker">Operationsverstärkers</a> auf den für die nachfolgenden Schritte nötigen Pegel angehoben. Aus dem verstärkten Analogsignal tastet die <a href="Sample-and-Hold-Schaltung" title="Sample-and-Hold-Schaltung">Sample-and-Hold-Stufe</a> in bestimmten <a href="Zeitintervall" title="Zeitintervall">Zeitintervallen</a> Werte ab und hält sie während eines Intervalls konstant. Aus einer analogen zeitkontinuierlichen Kurve wird so ein zeitdiskretes analoges Signal. Ein für eine gewisse Zeit konstantes Signal wird vom <a href="Analog-Digital-Wandler" class="mw-redirect" title="Analog-Digital-Wandler">Analog-Digital-Wandler</a> benötigt, um die diskreten digitalen Werte zu ermitteln. Diese können dann vom <a href="Digitaler_Signalprozessor" title="Digitaler Signalprozessor">digitalen Signalprozessor</a> verarbeitet werden. Das Signal nimmt dann den umgekehrten Weg und kann über einen <a href="Aktor" title="Aktor">Aktor</a> gegebenenfalls wieder in den technischen Prozess einfließen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Objekt:_Was_ist_ein_Signal?"><span id="Objekt:_Was_ist_ein_Signal.3F"></span>Objekt: Was ist ein Signal?</h2></div>

<p>Ein digitales Signal ist, im Gegensatz zu den kontinuierlichen Funktionen der analogen Signalverarbeitung, <a href="Diskretheit" class="mw-redirect" title="Diskretheit">diskret</a> in Zeit- und Wertebereich, also eine <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> von <a href="Elementarsignale" title="Elementarsignale">Elementarsignalen</a> (z. B. <a href="Rechteckimpuls" class="mw-redirect" title="Rechteckimpuls">Rechteckimpulsen</a>). Diese Folge entsteht meist in einem zeit- oder ortsperiodischen Messprozess. So wird zum Beispiel Schall über die Auslenkung einer Membran oder Verbiegung eines <a href="Piezoelektrizit%C3%A4t" title="Piezoelektrizität">Piezokristalls</a> in eine elektrische Spannung umgewandelt und diese Spannung mittels eines <a href="Analog-Digital-Umsetzer" title="Analog-Digital-Umsetzer">AD-Wandlers</a> zeitperiodisch wiederholt in digitale Daten konvertiert. Solch ein realistischer Messprozess ist endlich, die entstehende Folge besitzt einen Anfangsindex <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span> und einen Endindex <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"></span>.

</p><p>Wir können das Signal also als Datenstruktur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\delta ,\alpha ,\omega ,s)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\delta ,\alpha ,\omega ,s)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6705a0345c9911be1cf60cc1e5a4b1761de73028.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.984ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\delta ,\alpha ,\omega ,s)}" loading="lazy"></span> definieren, mit dem Abstand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"></span> zwischen zwei Datenpunkten, den Indizes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha <\omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha <\omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1cc98d8fdbfe50cca8c679407e5a793c3f7b0d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.032ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha <\omega }" loading="lazy"></span> und der endlichen Folge (Array) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=(s_{\alpha },\dots ,s_{\omega })}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=(s_{\alpha },\dots ,s_{\omega })}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31c9d606e571f016a0e971f922dfbfd15c2d8fab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.896ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s=(s_{\alpha },\dots ,s_{\omega })}" loading="lazy"></span> der Daten.

</p><p>Die Daten sind Instanzen einer Datenstruktur. Die einfachste Datenstruktur ist das Bit, am gebräuchlichsten sind (1, 2, 4 Byte-)<a href="Integer_(Datentyp)" title="Integer (Datentyp)">Integer</a>- und <a href="Gleitkommazahl" title="Gleitkommazahl">Gleitkommazahl</a>-Daten. Es ist aber auch möglich, dass das einzelne Datum selbst ein <a href="Vektor" title="Vektor">Vektor</a> oder eine Folge ist, wie zum Beispiel bei der Kodierung von Farbinformation als <a href="RGB-Signal" title="RGB-Signal">RGB</a>-Tripel oder RGBA-Quadrupel, oder dass das Signal <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"></span> die Spalten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04f159343172781e7666dbc88280c91f34117c30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.179ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{k}}" loading="lazy"></span> eines <a href="Rastergrafik" title="Rastergrafik">Rasterbildes</a> enthält. Dabei ist die einzelne Spalte wieder ein Signal, das zum Beispiel Grau- oder Farbwerte als Daten enthält.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Abstraktion_eines_Signals">Abstraktion eines Signals</h2></div>

<p>Um in der Theorie Signale nicht nach Anfang und Ende gesondert betrachten zu müssen, werden die endlichen Folgen in den abstrakten Signalraum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell _{2}(V)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell _{2}(V)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6dadec0668e93a15122f39c9fdf76037d8fe154.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.62ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ell _{2}(V)}" loading="lazy"></span>, einen <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a>, eingebettet. Bedingung: Die Basisfunktionen sind orthogonal zueinander, ihre Kreuzkorrelation ergibt demzufolge Null. Ein abstraktes Signal ist also durch ein Paar <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\delta ,s),\ \delta >0,\ s\in \ell _{2}(V)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\delta ,s),\ \delta >0,\ s\in \ell _{2}(V)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf27040453e2359de4407636a25b2aa2b7b1d4aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.073ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\delta ,s),\ \delta >0,\ s\in \ell _{2}(V)}" loading="lazy"></span>, gegeben.

</p><p>Dabei modelliert der <a href="Innenproduktraum" class="mw-redirect" title="Innenproduktraum">euklidische Vektorraum</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"></span> den Datentyp des Signals, zum Beispiel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63d897bc226139b01f3467c554249c117a944f4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.564ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {R} }" loading="lazy"></span> für einfache Daten, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10dd0dc5b184f1b99bff4d0d7e1e3fc0a73538d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.618ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"></span> für RGB-Farbtripel. Ein Element in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell _{2}(V)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell _{2}(V)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6dadec0668e93a15122f39c9fdf76037d8fe154.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.62ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ell _{2}(V)}" loading="lazy"></span> ist eine doppelt unendliche Folge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\colon \mathbb {Z} \to V,k\mapsto s_{k}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\colon \mathbb {Z} \to V,k\mapsto s_{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e49171e50881e1ec27146e6fa20b417cec960cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.114ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle s\colon \mathbb {Z} \to V,k\mapsto s_{k}}" loading="lazy"></span>. Die definierende Eigenschaft für den <a href="Folgenraum" title="Folgenraum">Folgenraum</a> ist, dass die sogenannte Energie des Signals endlich ist (<i>siehe auch <a href="Energiesignal" title="Energiesignal">Energiesignal</a></i>), das heißt

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E:=\|s\|^{2}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\|s_{n}\|^{2}<\infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/caf435514f23c2f2b048b351ce302970b84296b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:30.42ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle E:=\|s\|^{2}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\|s_{n}\|^{2}<\infty }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Methoden:_Transformation_von_Signalen">Methoden: Transformation von Signalen</h2></div>

<p>Die Bearbeitung digitaler Signale erfolgt durch <a href="Digitaler_Signalprozessor" title="Digitaler Signalprozessor">Signalprozessoren</a>.

</p><p>Das theoretische Modell der elektronischen Schaltung ist der <a href="Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmus</a>. In der digitalen Signalverarbeitung werden Algorithmen wie <a href="Mischer_(Elektronik)" title="Mischer (Elektronik)">Mischer</a>, <a href="Filter_(Elektronik)" class="mw-redirect" title="Filter (Elektronik)">Filter</a>, <a href="Diskrete_Fourier-Transformation" title="Diskrete Fourier-Transformation">Diskrete Fourier-Transformation</a>, <a href="Wavelet-Transformation" title="Wavelet-Transformation">Diskrete Wavelet-Transformation</a>, <a href="PID-Regler" class="mw-redirect" title="PID-Regler">PID-Regelung</a> eingesetzt.

Der Algorithmus ist aus elementaren Operationen zusammengesetzt; solche sind zum Beispiel die gliedweise Addition von Signalwerten, die gliedweise Multiplikation von Signalwerten mit einer Konstanten, die Verzögerung, das heißt Zeitverschiebung, eines Signals, sowie weitere mathematische Operationen, die periodisch aus einem Ausschnitt eines Signals (oder mehrerer Signale) einen neuen Wert generieren und aus diesen Werten ein neues Signal.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Abstrakte_Transformationen:_Filter">Abstrakte Transformationen: Filter</h2></div>

<p>Eine Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></span> zwischen zwei Signalräumen wird allgemein <i>System</i> genannt. Eine erste Einschränkung ist die Forderung der <a href="Zeitinvarianz" title="Zeitinvarianz">Zeitinvarianz</a> (TI für engl. <span lang="en"><i>time invariance</i></span>) der Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></span>. Diese entsteht grob betrachtet dadurch, dass ein zeitdiskretes signalverarbeitendes System aus einem <a href="Schieberegister" title="Schieberegister">Schieberegister</a>, das eine beschränkte Vergangenheit speichert, und einer Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span>, die aus den gespeicherten Werten einen neuen erzeugt, besteht. Betrachtet man auch ortsabhängige Signale, wie z. B. in der Bildverarbeitung, so stehen neben den vorhergehenden Werten auch nachfolgende zur Verfügung. Um die Allgemeinheit zu wahren, ist also eine zweiseitige Umgebung des jeweils aktuellen Datenpunktes zu betrachten.

</p><p>Die Umgebung habe einen Radius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"></span>, zum Zeitpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/957caf97b0edee56d65cb0f5043e05125ba0ebe9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.443ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta n}" loading="lazy"></span> befinden sich die Werte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{n-d},\dots ,a_{n},\dots ,a_{n+d})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{n-d},\dots ,a_{n},\dots ,a_{n+d})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f24e10fd6ae9bf403af2a10226e1552b2f6257d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.787ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{n-d},\dots ,a_{n},\dots ,a_{n+d})}" loading="lazy"></span> eines zeitdiskreten Eingangssignals <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\delta ,a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\delta ,a)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c7c167f22cd3072fee5920e7a334de278e0e8d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.122ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\delta ,a)}" loading="lazy"></span> im Umgebungsspeicher. Aus diesen wird mittels der die Schaltung verkörpernden <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> der Wert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28e2d72f6dd9375c8f1f59f1effd9b4e5492ac97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.216ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{n}}" loading="lazy"></span> zum Zeitpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\delta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3227c226845ae646a535df901c5dfe7aa28b6f4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.443ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\delta }" loading="lazy"></span> des Ausgangssignals <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\delta ,b)=F(\delta ,a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\delta ,b)=F(\delta ,a)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95b3f6085fdced0c09f6cef5ab2351511307b0e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.85ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\delta ,b)=F(\delta ,a)}" loading="lazy"></span> bestimmt,

</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{n}=f(a_{n-d},\dots ,a_{n},\dots ,a_{n+d})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{n}=f(a_{n-d},\dots ,a_{n},\dots ,a_{n+d})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b2bf009b564954a1483275fe6f4e0210e035a53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.38ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b_{n}=f(a_{n-d},\dots ,a_{n},\dots ,a_{n+d})}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Die Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> kann auch von einigen der Argumente unabhängig sein. Bei zeitabhängigen Signalen wäre es wenig sinnvoll, wenn <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> von Werten des Signals zu Zeitpunkten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n+1)\delta ,\dots ,(n+d)\delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n+1)\delta ,\dots ,(n+d)\delta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d3545b1fa9127d43a5bab90a55b2758ba08d131.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.743ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n+1)\delta ,\dots ,(n+d)\delta }" loading="lazy"></span> in der Zukunft abhinge.

Beispiele für solche Funktionen sind

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a_{k-d},\dots ,a_{k},\dots ,a_{k+d})=\max\{a_{k-d},\dots ,a_{k}\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7397a4c74cca667ae26283e8d24d219f06ade9d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.379ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a_{k-d},\dots ,a_{k},\dots ,a_{k+d})=\max\{a_{k-d},\dots ,a_{k}\}}" loading="lazy"></span> erzeugt ein System, das das Signal glättet,</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a_{k-1},a_{k},a_{k+1})=a_{k-1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73ad7b0e5a1b4b787eca2a0675bd4980b8e11a5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.83ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a_{k-1},a_{k},a_{k+1})=a_{k-1}}" loading="lazy"></span> erzeugt eine Verschiebung des Signals in Richtung wachsender Indizes, d. h. eine Verzögerung.</li></ul>

<p>Man kann zeitinvariante Systeme beliebig kombinieren und hintereinanderschalten und erhält wieder zeitinvariante Systeme.

</p><p>TI-Systeme <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></span>, die von einer linearen Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a_{n-d},\dots ,a_{n},\dots ,a_{n+d})=f_{d}(a_{n-d})+\dots +f_{0}(a_{n})+\dots +f_{-d}(a_{n+d})=\sum _{k=-d}^{d}f_{k}(a_{n-k})\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25ba31eba3abe5e5845ca0e984318d8b7cb28934.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:86.723ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle f(a_{n-d},\dots ,a_{n},\dots ,a_{n+d})=f_{d}(a_{n-d})+\dots +f_{0}(a_{n})+\dots +f_{-d}(a_{n+d})=\sum _{k=-d}^{d}f_{k}(a_{n-k})\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>nennt man <a href="Filter_mit_endlicher_Impulsantwort#Schnelle_Faltung" title="Filter mit endlicher Impulsantwort">Faltungsfilter</a>. Sie sind ein Spezialfall der linearen zeitinvarianten Filter (LTI) und können auch als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(a)=f*a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(a)=f*a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abc4a644a7fabd47e138a122444f4ef685cef66b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.581ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(a)=f*a}" loading="lazy"></span> geschrieben werden. Dabei bezeichnet <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e9972f426d9e07855984f73ee195a21dbc21755.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.079ex; margin-bottom: -0.25ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle *}" loading="lazy"></span> den <a href="Faltung_(Mathematik)" title="Faltung (Mathematik)">Faltungsoperator</a>.

</p><p>LTI-Systeme können im Orts- bzw. <a href="Zeitbereich" class="mw-redirect" title="Zeitbereich">Zeitbereich</a> oder im <a href="Frequenzspektrum" title="Frequenzspektrum">Frequenzbereich</a> definiert und analysiert werden. Nichtlineare oder gar nicht zeitinvariante Filter wie Regelungen können als <a href="Echtzeitsystem" title="Echtzeitsystem">Echtzeitsysteme</a> nur im Zeitbereich betrachtet werden.

</p><p>Ein LTI-System <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></span> kann im <a href="Zeitbereich" class="mw-redirect" title="Zeitbereich">Zeitbereich</a> mittels seiner <a href="Impulsantwortfunktion" class="mw-redirect" title="Impulsantwortfunktion">Impulsantwortfunktion</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=\{f_{k}\}:=F(\delta ^{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=\{f_{k}\}:=F(\delta ^{0})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af484e5d6ef4866173282750bdca2b5a2b6781a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.333ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f=\{f_{k}\}:=F(\delta ^{0})}" loading="lazy"></span> oder im <a href="Frequenzspektrum" title="Frequenzspektrum">Frequenzbereich</a> mittels seiner <a href="%C3%9Cbertragungsfunktion" title="Übertragungsfunktion">Übertragungsfunktion</a> (engl. <span lang="en"><i>Response Amplitude Operator</i></span>, RAO)

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {f}}(\omega ):=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f_{k}e^{-i\omega k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44d76a26eb7fe450207e077853936baf6e3e0e78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:19.71ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {f}}(\omega ):=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f_{k}e^{-i\omega k}}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>analysiert und realisiert werden. Die Impulsantwort eines Faltungsfilters <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(a)=f*a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(a)=f*a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abc4a644a7fabd47e138a122444f4ef685cef66b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.581ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(a)=f*a}" loading="lazy"></span> ist gerade <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(\delta ^{0})=f}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(\delta ^{0})=f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fee1675fc4b957032d5bb3f3a213bf5b1e6746f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.035ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F(\delta ^{0})=f}" loading="lazy"></span>. Man kann LTI-Systeme konstruieren, die bestimmte Frequenzbereiche unterdrücken und andere invariant lassen. Möchte man die frequenzselektive Wirkung eines solchen Systems hervorheben, so nennt man es <i>Filter</i>.

</p><p>Eine zentrale Rolle in der praktischen Implementierung von LTI-Systemen spielt der <a href="Schnelle_Fourier-Transformation" title="Schnelle Fourier-Transformation">FFT</a>-Algorithmus, der zwischen der Darstellung eines Signals im Zeitbereich und im Frequenzbereich vermittelt. Insbesondere kann eine Faltung im Zeitbereich durch eine Multiplikation im Frequenzbereich realisiert werden.

</p><p>Filter allgemein:

</p>

<ul><li><a href="Bandpass" title="Bandpass">Bandpass</a></li>

<li><a href="Hochpass" title="Hochpass">Hochpass</a></li>

<li><a href="Tiefpass" title="Tiefpass">Tiefpass</a></li></ul>

<p>spezielle Filter:

</p>

<ul><li>Boxcarfilter</li></ul>

<dl><dd>Jeder Koeffizient des FIR-Filters ist eins. Dadurch wird der Ausgang zur Summe aller N Eingangssamples. Dieses Filter ist sehr leicht zu realisieren, man benötigt nur Addierer</dd></dl>

<ul><li>CIC (Cascaded Integrated Comb) Filter</li>

<li><a href="Goertzel-Algorithmus" title="Goertzel-Algorithmus">Goertzelfilter</a></li></ul>

<dl><dd>dezimierendes Bandpassfilter</dd></dl>

<ul><li><a href="Hilberttransformation" class="mw-redirect" title="Hilberttransformation">Hilbertfilter</a></li></ul>

<dl><dd>linearer Amplitudengang</dd>

<dd>Signalphase kann geändert werden, Phasendrehung des Signals um 90°.</dd></dl>

<p>Zur Realisierung der Filterarten gibt es mehrere Möglichkeiten.

</p>

<ul><li><a href="FIR-Filter" class="mw-redirect" title="FIR-Filter">FIR-Filter</a> (Finite Impuls Response)</li></ul>

<dl><dd>Das entspricht einer Faltung im Zeitbereich mit Impulsantwort</dd>

<dd>Die Impulsantwort spiegelt die Koeffizienten des Filters wider</dd>

<dd>Es besitzt bei symmetrischer Impulsantwort eine lineare Phase</dd>

<dd>Immer stabil</dd></dl>

<ul><li><a href="IIR-Filter" class="mw-redirect" title="IIR-Filter">IIR-Filter</a> (Infinite Impulse Response)</li></ul>

<dl><dd>Rückgekoppeltes FIR-Filter (Feedback)</dd></dl>

<ul><li><a href="Schnelle_Faltung" title="Schnelle Faltung">Schnelle Faltung</a></li></ul>

<dl><dd>Blockweise Verarbeitung mittels Overlap Add / Overlap Save Methode</dd>

<dd>Fouriertransformation des Signals mit anschließender Multiplikation der Übertragungsfunktion im Frequenzbereich.</dd></dl>

<ul><li>QMF (Quadrature Mirror Filter)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<p>Beispielhafte Anwendungsbereiche der digitalen Signalverarbeitung sind:

</p>

<ul><li>Automobilbereich: <a href="Antiblockiersystem" title="Antiblockiersystem">ABS</a>, <a href="Electric_Power_Steering" class="mw-redirect" title="Electric Power Steering">EPS</a>, <a href="Fahrerassistenzsystem" title="Fahrerassistenzsystem">Fahrerassistenzsystem</a>, Aktive Geräuschreduzierung, Motorlaufkontrolle, Parkhilfe, Navigationshilfe, Sprachsteuerung, <a href="Airbag" title="Airbag">Airbag</a>, <a href="Global_Positioning_System" title="Global Positioning System">GPS</a></li>

<li>Industrie: Motorkontrolle, <a href="Robotik" title="Robotik">Robotik</a>, Computersehen, Servokontrollsysteme, <a href="Barcodeleseger%C3%A4t" title="Barcodelesegerät">Barcode-Lesegerät</a>, <a href="Messtechnik" title="Messtechnik">Messtechnik</a></li>

<li>Medizintechnik: <a href="Magnetresonanztomographie" title="Magnetresonanztomographie">Magnetresonanztomographie</a>, <a href="Positronen-Emissions-Tomographie" title="Positronen-Emissions-Tomographie">Positronen-Emissions-Tomographie</a>, <a href="Computertomographie" class="mw-redirect" title="Computertomographie">Computertomographie</a>, <a href="Optische_Koh%C3%A4renztomografie" class="mw-redirect" title="Optische Kohärenztomografie">Optische Kohärenztomografie</a>, <a href="Sonografie" title="Sonografie">Sonografie</a></li>

<li>Militär und Forschung: <a href="Sonar" title="Sonar">Sonar</a>- und <a href="Radar" title="Radar">Radarsysteme</a>, Seismische Analyse, <a href="Rakete" title="Rakete">Raketen</a> Leitsysteme, Flugzeug Steuer- und Kontrollsystem, <a href="Kernspinresonanzspektroskopie" title="Kernspinresonanzspektroskopie">Kernspinresonanzspektroskopie</a></li>

<li>Telekommunikation: <a href="Mobiltelefon" title="Mobiltelefon">Mobiltelefon</a>, <a href="Digital_Subscriber_Line" title="Digital Subscriber Line">DSL</a>, <a href="Integrated_Services_Digital_Network" title="Integrated Services Digital Network">ISDN</a>, <a href="Voice_over_IP" class="mw-redirect" title="Voice over IP">Voice over IP</a>, <a href="Modem" title="Modem">Modem</a>, <a href="Wireless_LAN" class="mw-redirect" title="Wireless LAN">Wireless LAN</a>, <a href="Bluetooth" title="Bluetooth">Bluetooth</a>, <a href="Satellitenkommunikation" title="Satellitenkommunikation">Satellitenkommunikation</a>,</li>

<li>Unterhaltungselektronik: <a href="DVD" title="DVD">DVD</a>-Player, <a href="MP3" title="MP3">MP3</a>-Player, <a href="Digitales_Fernsehen" title="Digitales Fernsehen">Digitales Fernsehen</a>, <a href="Digitalradio" title="Digitalradio">Digitales Radio</a>, <a href="Videotechnik" title="Videotechnik">Videotechnik</a>, <a href="Tontechnik" title="Tontechnik">Tontechnik</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vorteile_der_digitalen_Signalverarbeitung_gegenüber_konventionellen_Techniken"><span id="Vorteile_der_digitalen_Signalverarbeitung_gegen.C3.BCber_konventionellen_Techniken"></span>Vorteile der digitalen Signalverarbeitung gegenüber konventionellen Techniken</h2></div>

<p>Im Gegensatz zu konventionellen Filtersystemen in der <a href="Nachrichtentechnik" title="Nachrichtentechnik">Nachrichtentechnik</a>, die einzeln in Hardware realisiert werden müssen, können mit der digitalen Signalverarbeitung beliebige Filter einfach bei Bedarf in „Echtzeit“ (z. B. zur Decodierung) mit Hilfe von Software ein- oder ausgeschaltet werden.

</p><p>Dabei können je nach Leistungsfähigkeit des Systems beliebig viele Filter und aufwendige Filterkurven und sogar Phasenverschiebungen in Abhängigkeit von weiteren Parametern in „Echtzeit“ erzeugt und so das Ursprungsignal bearbeitet werden.

</p><p>Deshalb ist mit der digitalen Signalverarbeitung durch DSPs eine wesentlich wirkungsvollere Signalbearbeitung als mit konventionellen Filtersystemen (z. B. bei der Rauschunterdrückung analoger Signale) möglich, siehe <a href="Rauschfilter" class="mw-redirect" title="Rauschfilter">Rauschfilter</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vorteile_am_Beispiel_einer_Audio-CD">Vorteile am Beispiel einer Audio-CD</h3></div>

<p>Am Beispiel der CD lassen sich einige Vorteile der digitalen gegenüber der analogen Signalverarbeitung erkennen: Die auf einer CD digital gespeicherten Informationen ändern sich auch nach Jahren nicht, sofern sie richtig wiedergewonnen werden können und es keine altersbedingten Defekte gibt. Es gibt kein „<a href="%C3%9Cbersprechen" title="Übersprechen">Übersprechen</a>“ von einer Spur zur anderen, es gehen keine hohen Frequenzen verloren. Auch bei beliebig häufigem Abspielen der CD werden die Daten nicht verändert, wie bei einer <a href="Schallplatte" title="Schallplatte">Schallplatte</a>: Dort „schleift“ die Nadel des <a href="Tonabnehmer" title="Tonabnehmer">Tonabnehmers</a> bei jeder Wiedergabe ein wenig Material weg und glättet die Kanten – mit der Folge, dass vor allem hohe Frequenzanteile abgeschwächt werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: <cite style="font-style:italic">Zeitdiskrete Signalverarbeitung</cite>. 3. durchgesehene Auflage. R. Oldenbourg, München u. a. 1999, ISBN 3-486-24145-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Digitale+Signalverarbeitung&rft.au=Alan+V.+Oppenheim%2C+Ronald+W.+Schafer&rft.btitle=Zeitdiskrete+Signalverarbeitung&rft.date=1999&rft.edition=3.+durchgesehene&rft.genre=book&rft.isbn=3486241451&rft.place=M%C3%BCnchen+u.+a.&rft.pub=R.+Oldenbourg" style="display:none"> </span></li>

<li>Steven W. Smith: <cite style="font-style:italic">The Scientist and Engineer's Guide to digital Signal Processing</cite>. 2. Auflage. California Technical Publishing, San Diego CA 1999, ISBN 0-9660176-4-1 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dspguide.com/">E-Book</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Digitale+Signalverarbeitung&rft.au=Steven+W.+Smith&rft.btitle=The+Scientist+and+Engineer%27s+Guide+to+digital+Signal+Processing&rft.date=1999&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=0966017641&rft.place=San+Diego+CA&rft.pub=California+Technical+Publishing" style="display:none"> </span></li>

<li>Sophocles J. Orfanidis: <i>Introduction to Signal Processing.</i> New-Brunswick, 2010. Kostenfreies Lehrbuch über digitale Signalverarbeitung inklusive vollständiger Lösungen. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/intro2sp/">Online</a>)</li>

<li>Li Tan: <cite style="font-style:italic">Digital Signal Processing. Fundamentals and Applications</cite>. Elsevier Academic Press, Amsterdam u. a. 2008, ISBN 978-0-12-374090-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Digitale+Signalverarbeitung&rft.au=Li+Tan&rft.btitle=Digital+Signal+Processing.+Fundamentals+and+Applications&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=9780123740908&rft.place=Amsterdam+u.+a.&rft.pub=Elsevier+Academic+Press" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Digital_signal_processing?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Digitale Signalverarbeitung</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Digitale_Signalverarbeitung" class="extiw external" title="b:Digitale Signalverarbeitung">Wikibooks: Digitale Signalverarbeitung</a></b> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mikrocontroller.net/articles/Digitale_Signalverarbeitung">Artikel „Digitale Signalverarbeitung“ – Übersicht über die Verfahren der digitalen Signalverarbeitung</a></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2023-07-02" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Digitale_Signalverarbeitung&oldid=235112779">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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